【CTO Tecn Blog】数論変換（NTT）
- CTO Tech blog
当社のCTO、安土 茂亨がクラウドやBlockchainについて書き連ねるブログ Develop with pleasure! から最新記事をご紹介するCTO Tech Blog。
今回は「数論変換（NTT）」というタイトルの記事をご紹介！！
ブログ記事の要約
本記事では、数論変換（NTT: Number Theoretic Transform） という多項式演算の高速化アルゴリズムについて、仕組みと暗号システムとの関係を丁寧に解説しています。
現代のゼロ知識証明（ZKP）や多くの暗号プロトコルでは、多項式の乗算や畳み込み演算が大量に必要になります。単純な多項式乗算は係数同士の組合せによって計算量が O(n²) となり、大きなサイズでは効率が悪くなります。
そこで NTT は、高速フーリエ変換（FFT）の考え方を有限体上に拡張し、誤差なく O(n log n) で多項式乗算を実行できる手法です。具体的には：
- 複素数領域のDFT/FFTと同様の演算を、有限体（mod p）上の原始根（primitive root） を用いて実装
- 有限体上の離散変換で多項式を点値表現に変換 → 点ごとに乗算 → 逆変換
- 浮動小数点誤差を避けられるため 暗号処理に適合
記事内では、FFT と NTT の違いや Ruby の簡易コード例を通じて、以下の点を技術者向けに整理しています：
- 多項式乗算における基本的な計算特性（O(n²) vs O(n log n））
- FFT の浮動小数点誤差と暗号用途での問題点
- 有限体上で動作する NTT の原理・有限体 p の選び方
- 実践的アルゴリズムの構造（原始根、バタフライ演算、逆変換）
NTT は、大規模な暗号計算・ゼロ知識証明・多項式コミットメント などの高速化に欠かせない基礎技術であり、暗号エンジニアがその内部動作を理解するうえで役立つ内容です。
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